92指考數學甲選填第12題詳解

因為令 $u=x+y$、$v=x-y$。曲線可寫為 $(x+y)^2-2x+6y+1=0$，其中 $-2x+6y=2u-4v$，所以故 $$u^2+2u-4v+1=0\;\implies\; v=\dfrac{(u+1)^2}{4}\ge 0$$ 點 $P$ 到直線 $x-y+4=0$ 的距離為 $$d=\dfrac{|x-y+4|}{\sqrt2}=\dfrac{v+4}{\sqrt2}$$ 當 $v=0$（即 $u=-1$）時最小，$d_{\min}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2=\sqrt{8}$。