92 學測數學補考第 15 題

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92 學測數學補考第 15 題

📅 92 年 📝 學測數學補考第 15 題題型：選填課綱：99課綱

解方程式 $\log_3 x^7 + \log_{\frac{1}{3}} x = 24$，得 $x =$____。

對數運算換底公式指數對數指數與對數

答案

$81$

詳解

令 $t=\log_3 x$。因為 $\log_{\frac{1}{3}}x=\dfrac{\log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}}=-\log_3 x=-t$，所以 $$\log_3 x^7 + \log_{\frac{1}{3}}x = 7\log_3 x - \log_3 x = 6t.$$ 由題意 $6t=24$，得 $t=4$。因此 $$\log_3 x=4 \implies x=3^4=81.$$ 故 $x=81$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

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