92學測數學補考選填第14題詳解

二項展開： $$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$$ 將多項式除以 $x^2+1$ 時，利用 $x^2+1=0$，可得 $x^2=-1$，因此 $$x^6=(x^2)^3=-1,\;x^5=x\cdot x^4=x,\;x^4=(x^2)^2=1,\;x^3=x\cdot x^2=-x$$ 代入： $$\begin{aligned}(x+1)^6&=(-1)+6x+15+20(-x)+15(-1)+6x+1\\&=(6x-20x+6x)+(-1+15-15+1)\\&=-8x\end{aligned}$$ 故 $a=-8$，$b=0$。