93指考數學甲多選第2題詳解

依圖形與推導以 $y=10^x$ 與 $y=x^{10}$ 的圖形比較。當 $x=1$ 時，$10^x>x^{10}$；當 $x=2$ 時，$x^{10}>10^x$；當 $x=10$ 時兩圖形相交。由圖形可知方程式 $10^x=x^{10}$ 共有三個根：一個負根、一個正根 $1<x<1.5$，以及 $x=10$。 $(1)$：當負根 $x_0<x<10$ 時，$x^{10}>10^x$；取 $x=9$ 得 $9^{10}>10^9$，所以錯。 $(2)$：當 $x>10$ 時，$10^x>x^{10}$；取 $x=12$ 得 $10^{12}>12^{10}$，所以錯。 $(3)$：取 $x=11$，由 $x>10$ 區段可得 $10^{11}>11^{10}$，所以對。 $(4)$：圖形顯示 $10^x=x^{10}$ 有一負根，所以對。 故選 $(3)(4)$。