**$(1)$ 以 $x, y$ 表示 $P$** 中草藥每公斤利潤 $5000$ 元，健康食品每公斤利潤 $100$ 元。 $$P = 5000x + 100y$$ --- **$(2)$ 求最大利潤的 $x, y$ 值** **限制條件：** 原料限制：提煉 $x$ 公斤中草藥需 $200x$ 公斤植物，製造 $y$ 公斤健康食品需 $5y$ 公斤植物。 $$200x + 5y \le 10000$$ 市場需求限制： $$0 \le x \le 30, \ 0 \le y \le 1800$$ 化簡原料不等式： $$40x + y \le 2000$$ **目標函數：** $$P = 5000x + 100y$$ **檢驗可行域頂點：** | 頂點 | $P = 5000x + 100y$ | |------|---------------------| | $(0, 0)$ | $0$ | | $(0, 1800)$ | $180{,}000$ | | $(30, 0)$ | $150{,}000$ | | 交點：解 $\begin{cases} 40x + y = 2000 \\ x = 30 \end{cases}$ | | | $\implies y = 2000 - 40 \times 30 = 800$ | | | $(30, 800)$ | $5000 \times 30 + 100 \times 800 = 230{,}000$ | 比較各頂點的 $P$ 值，最大值為 $230{,}000$，發生在 $(x, y) = (30, 800)$。 --- **答案：** $$(1)\ P = 5000x + 100y$$ $$(2)\ x = 30,\ y = 800$$