93指考數學乙非選第12題詳解

$(1)$ 以 $x, y$ 表示 $P$ 中草藥每公斤利潤 $5000$ 元，健康食品每公斤利潤 $100$ 元。 $$P = 5000x + 100y$$ $(2)$ 求最大利潤的 $x, y$ 值 限制條件： 原料限制：提煉 $x$ 公斤中草藥需 $200x$ 公斤植物，製造 $y$ 公斤健康食品需 $5y$ 公斤植物。 $$200x + 5y \le 10000$$ 市場需求限制： $$0 \le x \le 30, \ 0 \le y \le 1800$$ 化簡原料不等式： $$40x + y \le 2000$$ 目標函數： $$P = 5000x + 100y$$ 檢驗可行域頂點： $(0,0)$：$P=0$。 $(0,1800)$：$P=180000$。 $(30,0)$：$P=150000$。 當 $x=30$ 且 $40x+y=2000$ 時，$y=800$，所以 $$(30,800)：P=5000\times30+100\times800=230000。$$ 比較各頂點的 $P$ 值，最大值為 $230000$，發生在 $(x,y)=(30,800)$。