93 指考數學乙第 11 題

Question

當平面上的點 $(x, y)$ 之坐標 $x$ 與 $y$ 都是整數時，稱點 $(x, y)$ 為格子點。數學家知道：坐標平面上三個頂點皆為格子點的三角形之面積可以用公式 $aS + bI + c$ 來表示，其中 $S$ 代表三角形三邊邊上的格子點數，$I$ 是落在三角形內部（不含邊上）的格子點數，$a, b, c$ 是固定的常數。則 $(a, b, c) = ($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$。

Accepted Answer

答案：1/2, 1, -1
此為**皮克定理**（Pick's theorem）：

對於坐標平面上頂點皆為格子點的簡單多邊形，其面積公式為：
$$A = I + \frac{S}{2} - 1$$

其中：
- $I$：落在多邊形內部（不含邊上）的格子點數
- $S$：落在多邊形邊上的格子點數

將此公式改寫為 $aS + bI + c$ 的形式：
$$A = \frac{1}{2} \cdot S + 1 \cdot I + (-1)$$

比對係數得：
$$a = \frac{1}{2}, \  b = 1, \  c = -1$$

故答案為 $(\frac{1}{2}, 1, -1)$。