93指考數學乙選填第11題詳解

設三角形面積為 $$A = aS + bI + c$$ 先取頂點為 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 的三角形。其面積為 $\dfrac{1}{2}$，邊上格子點數 $S = 3$，內部格子點數 $I = 0$，所以 $$3a + c = \frac{1}{2} \tag{式1}$$ 再取頂點為 $(0,0),(2,0),(0,1)$ 的三角形。其面積為 $1$，邊上格子點數 $S = 4$，內部格子點數 $I = 0$，所以 $$4a + c = 1 \tag{式2}$$ 由式（式2）−式（式1）得 $$a = \frac{1}{2}$$ 代回式（式1）得 $$3 \cdot \frac{1}{2} + c = \frac{1}{2} \implies c = -1$$ 格子三角形的面積公式即為 $$A = \frac{1}{2}S + bI - 1$$ 當內部多一個格子點時，面積比同邊界點數情形多 $1$ 個單位面積，因此 $b = 1$。 所以 $$A = \frac{1}{2}S + I - 1$$ 故 $$(a,b,c)=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)。$$