93指考數學甲補考非選第11題詳解

設 $\overline{BC}=L$，則 $L=d+e$。令 $H$ 為 $A$ 到 $BC$ 的垂足，並以 $B$ 為原點、沿 $\overline{BC}$ 方向取座標，設 $H$ 的座標為 $x$。 由直角三角形 $ABH$ 與 $ACH$，得 $$c^2=\overline{AH}^2+x^2,$$ $$b^2=\overline{AH}^2+(L-x)^2.$$ 兩式相減得 $$c^2-b^2=x^2-(L-x)^2.$$ 題設 $c^2-d^2=b^2-e^2$，等價於 $$c^2-b^2=d^2-e^2.$$ 又 $e=L-d$，所以 $$x^2-(L-x)^2=d^2-(L-d)^2.$$ 展開化簡得 $$L(2x-L)=L(2d-L).$$ 因 $L=\overline{BC}>0$，故 $x=d$。 也就是垂足 $H$ 到 $B$ 的距離等於 $\overline{BD}$，而 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上且 $\overline{BD}=d$，所以 $D=H$。因此 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，得證。