93 指考數學甲補考第 11 題

Question

銳角三角形 $ABC$，$D$ 為 $\overline{BC}$ 上一點，令 $\overline{AC}=b$、$\overline{AB}=c$、$\overline{BD}=d$、$\overline{CD}=e$。假設 $c^2-d^2=b^2-e^2$，求證 $\overline{AD}$ 與 $\overline{BC}$ 垂直。（$12$ 分）

Accepted Answer

答案：證明題
令 $H$ 為 $A$ 到直線 $BC$ 的垂足，取有向線段，設 $BH=x$、$CH=y$。
由直角三角形得
$$c^2=AH^2+x^2,\  b^2=AH^2+y^2.$$
因此
$$c^2-b^2=x^2-y^2.$$
題設 $c^2-d^2=b^2-e^2$，等價於
$$c^2-b^2=d^2-e^2.$$
故
$$x^2-y^2=d^2-e^2.$$
又 $D$ 在 $BC$ 上且 $BD=d$、$CD=e$。在同一直線上，滿足上述平方差關係的位置即為垂足位置，所以 $D=H$。
因此 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$，得證。