115 學測數學A 第 17 題

Question

直角 $	riangle ABC$ 中，$\angle CAB$ 為直角，$\overline{AB}$ 邊上一點 $D$，滿足 $\angle BCD=2\angle ACD$，且 $\overline{BC}=2\overline{BD}$。若 $\overset{\largeightharpoonup}{AD}=k\overset{\largeightharpoonup}{AB}$，則 $k=$ ____。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{3}{11}$
設 $A=(0,0)$，$B=(1,0)$，$C=(0,c)$，$D=(k,0)$。令 $\angle ACD=\alpha$，則 $\angle ACB=3\alpha$，且 $	an\alpha=\dfrac{k}{c}$、$	an3\alpha=\dfrac{1}{c}$。配合 $BC=2BD$，即 $\sqrt{1+c^2}=2(1-k)$，解得合於圖形的 $k=\dfrac{3}{11}$。