115學測數學A選填第16題詳解

二次函數 $\Gamma:y=f(x)$ 交 $x$ 軸於 $A(-\frac{1}{2},0)$ 和 $B(\frac{1}{2},0)$，因為兩根為 $\pm\frac{1}{2}$，可設 $$f(x)=k\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)=k\Bigl(x^2-\frac{1}{4}\Bigr)$$ 頂點在 $x=0$ 處，$y=f(0)=-\frac{k}{4}$，即 $P=(0,-\frac{k}{4})$。 因為頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，代入得 $-\frac{k}{4}=1$，所以 $k=-4$。 因此 $f(x)=-4x^2+1$，$P=(0,1)$。 平移後頂點沿直線 $y=1+2x$ 移動到 $Q$。設平移向量為 $(h,2h)$，則 $Q=(h,1+2h)$，平移後的函數為 $$y=-4(x-h)^2+1+2h$$ 平移後圖形通過 $B(\frac{1}{2},0)$，代入： $$0=-4\Bigl(\frac{1}{2}-h\Bigr)^2+1+2h$$ 令 $t=\frac{1}{2}-h$，則 $h=\frac{1}{2}-t$，$2h=1-2t$。代入： \begin{aligned} 0&=-4t^2+1+(1-2t) \\ &=-4t^2-2t+2 \end{aligned} 除以 $2$ 得 $2t^2+t-1=0$，$(2t-1)(t+1)=0$。 $t=\frac{1}{2}\implies h=0$，此時 $Q=(0,1)=P$，不合題意（$P,Q$ 需相異）。 $t=-1\implies h=\frac{3}{2}$，此時 $Q=(\frac{3}{2},4)$。 因此 $\overline{PQ}=\sqrt{\bigl(\frac{3}{2}-0\bigr)^2+(4-1)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+9}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。 故 $\overline{PQ}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。