115 學測數學A 第 16 題

Question

坐標平面上，已知二次函數圖形 $\Gamma:y=f(x)$ 的頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，且交 $x$ 軸於點 $A(-\dfrac{1}{2},0), B(\dfrac{1}{2},0)$。將 $\Gamma$ 平移使得平移後圖形的頂點 $Q$ 仍在直線 $y=1+2x$ 上，且亦通過點 $B(\dfrac{1}{2},0)$，此時 $P,Q$ 為兩相異點，則 $\overline{PQ}=$ ____。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
由根為 $\pm\dfrac{1}{2}$ 且頂點在 $y=1+2x$ 上，得 $f(x)=-4x^2+1$，$P=(0,1)$。設平移向量為 $(h,2h)$，則 $Q=(h,1+2h)$。平移後通過 $B$，所以 $$2h-4\left(\dfrac{1}{2}-h\right)^2+1=0$$ 得 $h=0$ 或 $h=\dfrac{3}{2}$。因 $P,Q$ 相異，取 $h=\dfrac{3}{2}$，故 $$PQ=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+3^2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$$