115學測數學B選填第16題詳解

$L:y=f(x)$（一次函數）與 $\Gamma:y=g(x)$（二次函數）交於 $(1,0)$、$(5,4)$，且 $(2,2)$ 在 $\Gamma$ 上。 因為 $L$ 通過 $(1,0)$ 和 $(5,4)$，斜率為 $\frac{4-0}{5-1}=1$，所以方程式為 $y=x-1$，$f(x)=x-1$。 令 $h(x)=g(x)-f(x)$。因為 $L$ 與 $\Gamma$ 交於 $x=1,5$，所以 $h(1)=h(5)=0$，可設 $h(x)=a(x-1)(x-5)$。 點 $(2,2)$ 在 $\Gamma$ 上：$g(2)=2$，$f(2)=1$，所以 $h(2)=g(2)-f(2)=1$。代入： $$1=a(2-1)(2-5)=a\cdot1\cdot(-3)=-3a$$ 因此 $a=-\frac{1}{3}$。於是： $$h(x)=-\frac{1}{3}(x-1)(x-5)=-\frac{1}{3}(x^2-6x+5)=-\frac{1}{3}((x-3)^2-4)=-\frac{1}{3}(x-3)^2+\frac{4}{3}$$ 因為 $h(x)$ 為開口向下的二次函數，最大值在 $x=3$ 處為 $\frac{4}{3}$。所以 $g(x)$ 與 $f(x)$ 的縱向差距最大值即為 $\frac{4}{3}$。 故 $\Gamma$ 上各點與 $L$ 上對應點的縱向差距中，最大的值為 $\frac{4}{3}$。