**$(1)$** $y = x^2 + 1$，導數 $y' = 2x$。 在 $(1, 2)$ 處斜率 $m = 2 \times 1 = 2$。 切線方程式：$y - 2 = 2(x - 1)$，即 $y = 2x$。 **$(2)$** 拋物線 $y = x^2+1$ 的對稱軸為 $x = 0$（$y$ 軸），故圓心在 $y$ 軸上，設 $(0, k)$。 圓與拋物線在兩點相切，由對稱性，另一點為 $(-1, 2)$，該點切線為 $y = -2x$。 圓心 $(0, k)$ 到切線 $y = 2x$（即 $2x - y = 0$）的距離： $$r = \frac{|2 \cdot 0 - k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$$ 圓心到切點 $(1, 2)$ 的距離： $$r = \sqrt{(1-0)^2 + (2-k)^2} = \sqrt{1 + (2-k)^2}$$ 兩者相等： $$\frac{k^2}{5} = 1 + (2-k)^2$$ $$\frac{k^2}{5} = 1 + 4 - 4k + k^2$$ $$\frac{k^2}{5} = 5 - 4k + k^2$$ $$k^2 = 25 - 20k + 5k^2$$ $$4k^2 - 20k + 25 = 0$$ $$(2k - 5)^2 = 0$$ $$k = \frac{5}{2}$$ 故圓心坐標為 $(0, \frac{5}{2})$。