111學測數學B非選第20題詳解

設兩座鐵塔的塔高皆為 $x$ 公尺。因為偏移距離 $=$ 塔高 $\times\sin$（傾斜度），所以兩塔的偏移距離分別為 $\frac{x}{5}$ 與 $\frac{7x}{25}$。 由兩偏移距離相差 $20$ 公尺：$\left|\frac{x}{5}-\frac{7x}{25}\right|=20$，通分得 $\frac{2x}{25}=20$，解得 $x=250$ 公尺。 塔頂到地面的距離為塔高乘以 $\cos$（傾斜度）： $$\cos\alpha^\circ=\sqrt{1-\sin^2\alpha^\circ}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5},\; \cos\beta^\circ=\sqrt{1-\sin^2\beta^\circ}=\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\frac{\sqrt{576}}{25}=\frac{24}{25}$$ 兩塔的塔頂到地面距離分別為 $250\times\frac{2\sqrt{6}}{5}=100\sqrt{6}$ 與 $250\times\frac{24}{25}=240$ 公尺，相差 $100\sqrt{6}-240$ 公尺。 故相差 $100\sqrt{6}-240$ 公尺。