111_02B_q20
111 學測數學B 第 20 題
📅 111 年 📝 學測數學B 第 20 題 題型:非選 課綱:108課綱
18-20 題為題組
瘦長的塔因為年代久遠,塔身容易傾斜。在下方右圖中,以粗黑線條代表塔身,而塔身的長度稱為塔高,塔身與鉛直虛線的夾角 $\theta^\circ$ 稱為該塔的傾斜度($0 \leq \theta < 90$),又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。根據上述資料,試回答下列問題。
假設有塔高相等的兩座鐵塔,它們的傾斜度 $\alpha^\circ$、$\beta^\circ$ 分別滿足 $\sin\alpha^\circ=\dfrac{1}{5}$ 與 $\sin\beta^\circ=\dfrac{7}{25}$。已知兩座鐵塔的偏移距離相差 $20$ 公尺,試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。(非選擇題,$6$ 分)
斜塔外觀示意圖
斜塔外觀示意圖
塔身、鉛直線、偏移距離與傾斜角示意圖
塔身、鉛直線、偏移距離與傾斜角示意圖
正弦餘弦畢氏定理三角比與三角函數平面幾何三角函數
解題手法設未知數〔AI 推測〕
答案

$100sqrt{6}-240approx 4.9$ 公尺

答案來自 PDF 答案表或非選評分參考。

詳解
設兩座鐵塔塔高皆為 $x$ 公尺,則偏移距離分別為 $x\sin\alpha^\circ=\dfrac{x}{5}$ 與 $x\sin\beta^\circ=\dfrac{7x}{25}$。由 $\left|\dfrac{x}{5}-\dfrac{7x}{25}\right|=20$,得 $x=250$。又 $\cos\alpha^\circ=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$,$\cos\beta^\circ=\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{25}\right)^2}=\dfrac{24}{25}$。兩塔塔頂到地面的距離分別為 $250\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{5}=100\sqrt{6}$ 與 $250\cdot\dfrac{24}{25}=240$,故相差 $100\sqrt{6}-240\approx 4.9$ 公尺。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。