93 指考數學乙補考第 1 題

Question

張三所就讀的高中有 $200$ 位學生，學生體重分佈呈常態，平均體重是 $50$ 公斤，體重的變異係數是 $10\%$。張三的體重為 $65$ 公斤，請問張三體重在全校學生中的排名大約在哪一區間？（在常態分佈下，估算大約有 $68\%$ 的資料落在以平均值為中心的一個標準差之內，大約有 $95\%$ 的資料落在兩個標準差之內，大約有 $99.7\%$ 的資料落在三個標準差之內。）[註：變異係數的定義是標準差除以平均數]

Accepted Answer

答案：(1)
變異係數 $= \frac{\sigma}{\mu} = 10\%$，$\mu = 50$。
$$\sigma = 50 	imes 0.1 = 5$$

張三體重 $65 = 50 + 3 	imes 5 = \mu + 3\sigma$。

在常態分佈中，超過 $\mu + 3\sigma$ 的機率約為 $\frac{1-0.997}{2} = 0.0015 = 0.15\%$。

$200 	imes 0.0015 = 0.3$ 人，即約 $0$～$1$ 人體重超過張三。

故張三的排名約在 $1 \sim 10$ 名之間。

答案為 $(1)$。