設第 $i$ 位學生的原始成績為 $X_i$，調整後的成績為 $Y_i = 10\sqrt{X_i}$，其中樣本數 $n = 100$。 已知調整後的成績平均數為 $\bar{Y} = 65$，標準差為 $S_Y = 15$。 根據標準差的公式（在此不論是除以 $n$ 或 $n-1$，結果皆相同。此處採用高中常用的母體標準差估計公式，分母為 $n$）： $$S_Y^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 - \bar{Y}^2$$ $$15^2 = \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 - 65^2$$ $$225 = \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 - 4225 \implies \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 = 4450$$ 而未調整前成績的平均數 $M$ 為： $$M = \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} X_i$$ 因 $Y_i = 10\sqrt{X_i} \implies Y_i^2 = 100 X_i \implies X_i = \dfrac{Y_i^2}{100}$，代入得： $$M = \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} \dfrac{Y_i^2}{100} = \dfrac{1}{10000} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2$$ $$M = \dfrac{1}{100} \left( \dfrac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 \right) = \dfrac{4450}{100} = 44.5$$ （註：若依第 $7$ 頁附的樣本標準差公式，分母為 $n-1 = 99$： $$S_Y^2 = \dfrac{1}{99} \left( \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 - 100 \times 65^2 \right) = 225 \implies \sum_{i=1}^{100} Y_i^2 = 444775$$ 則 $M = \dfrac{\sum_{i=1}^{100} Y_i^2}{10000} = 44.4775$） 無論使用哪種公式，平均值 $M$ 皆滿足 $44 \le M < 45$。 故選 $(5)$。