94學測數學多選第6題詳解

設選項中之向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP} = x\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + y\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$。 根據向量線性組合的幾何意義： 1. 點 $P$ 落在以 $OA$ 與 $OB$ 為兩邊的角 $AOB$ 內部，須滿足： $$x \ge 0 \text{ 且 } y \ge 0$$ 2. 點 $P$ 落在直線 $AB$ 上，其係數和滿足 $x + y = 1$。直線 $AB$ 將平面分割為兩部分，靠近原點 $O$ 這一側滿足 $x + y < 1$，遠離原點那一側則滿足 $x + y > 1$。 由圖可知，陰影區域為角 $AOB$ 內部中，位於直線 $AB$ 的外側（遠離原點那一側），故點 $P$ 的係數應滿足： $$x \ge 0,\text{ } y \ge 0,\text{ 且 } x + y \ge 1$$ 我們依此條件檢驗各選項： $(1)$ $x = 1, y = 2 \implies x+y = 3 \ge 1$（符合）。 $(2)$ $x = \dfrac{3}{4}, y = \dfrac{1}{3} \implies x+y = \dfrac{9+4}{12} = \dfrac{13}{12} \ge 1$（符合）。 $(3)$ $y = -\dfrac{1}{3} < 0$（不符）。 $(4)$ $x = \dfrac{3}{4}, y = \dfrac{1}{5} \implies x+y = \dfrac{15+4}{20} = \dfrac{19}{20} < 1$（不符，落在 $\triangle OAB$ 內部）。 $(5)$ $y = -\dfrac{1}{5} < 0$（不符）。 故選 $(1)(2)$。