94學測數學單選第5題詳解

設第 $i$ 位學生的原始成績為 $X_i$，調整後的成績為 $Y_i = 10\sqrt{X_i}$，其中樣本數 $n = 100$。 已知調整後成績的平均數為 $\bar{Y} = 65$，樣本標準差為 $S_Y = 15$。依第 $7$ 頁附的樣本標準差公式： $$S_Y^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{100}(Y_i - \bar{Y})^2$$ 代入可得： $$15^2 = \dfrac{1}{99}\sum_{i=1}^{100}(Y_i - 65)^2$$ 因此 $$\sum_{i=1}^{100}(Y_i - 65)^2 = 225 \times 99 = 22275$$ 又 $$\sum_{i=1}^{100}(Y_i - 65)^2 = \sum_{i=1}^{100}Y_i^2 - 100 \times 65^2$$ 所以 $$\sum_{i=1}^{100}Y_i^2 = 22275 + 100 \times 65^2 = 22275 + 422500 = 444775$$ 因為 $Y_i = 10\sqrt{X_i}$，故 $Y_i^2 = 100X_i$。未調整前成績的平均數為 $$M = \dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_i = \dfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}\dfrac{Y_i^2}{100} = \dfrac{444775}{10000} = 44.4775$$ 因此 $44 \le M < 45$，故選 $(5)$。