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94學測數學多選第7題詳解

📅 94 年 📝 學測數學 第 7 題 題型：多選 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(2)(3)(5)$

本題考點：坐標幾何、直線斜率、畢氏定理、圓與直線

題目

如右圖所示，坐標平面上一鳶形 $ABCD$，其中 $A,C$ 在 $y$-軸上，$B,D$ 在 $x$-軸上，且 $\overline{AB} = \overline{AD} = 2$，$\overline{BC} = \overline{CD} = 4$，$\overline{AC} = 5$。令 $m_{AB}$、$m_{BC}$、$m_{CD}$、$m_{DA}$ 分別表直線 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 之斜率。試問以下哪些敘述成立？
094_02M_q07_fig01
  1. 此四數值中以 $m_{AB}$ 為最大
  2. 此四數值中以 $m_{BC}$ 為最小
  3. $m_{BC} = -m_{CD}$
  4. $m_{AB} \times m_{BC} = -1$
  5. $m_{CD} + m_{DA} > 0$
坐標幾何直線斜率畢氏定理圓與直線
解題手法數形結合對稱性〔AI 推測〕

答案

答案

$(2)(3)(5)$

詳解

詳解
因為依題目條件進行如下推導： 因為 $A,C$ 在 $y$ 軸、$B,D$ 在 $x$ 軸，可設 $$ A=(0,a),\ C=(0,a-5),\ B=(-b,0),\ D=(b,0). $$ 由 $\overline{AB}=2$、$\overline{BC}=4$ 得 $$ a^2+b^2=4,\; (a-5)^2+b^2=16. $$ 相減得 $a=\frac{13}{10}$，進而 $c=a-5=-\frac{37}{10}$。四條直線斜率的符號與大小因此為 $$ m_{CD}=\frac{37}{10b},\; m_{AB}=\frac{13}{10b},\; m_{DA}=-\frac{13}{10b},\; m_{BC}=-\frac{37}{10b}. $$ 逐項比較可得 $(2),(3),(5)$ 成立，故答案為 $(2)(3)(5)$。 所以得到題目所求答案。

題目來源：民國94年學測數學 第7題（來源PDF第3頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈94學測數學多選第7題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/094_02M_q07

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。