94學測數學多選第8題詳解

設 $A(-1, 2, 0)$，$B(3, 0, 2)$。 三平面相異且皆通過 $A, B$ 兩點，因為兩相異平面的交線為一直線，且 $A, B$ 皆在其上，故此三平面之交線即為通過 $A, B$ 兩點的直線 $L$。 因此，任何同時在此三平面上的點，必定落在直線 $L$ 上。 我們寫出直線 $L$ 的參數式： 其方向向量可取 $\overset{\large\rightharpoonup}{v} = \overline{AB} = B - A = (4, -2, 2)$，可簡化為平行向量 $(2, -1, 1)$。 以 $A(-1,2,0)$ 為基準點，直線 $L$ 的參數式為： $$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases} \text{ } (t \in \mathbb{R})$$ 我們利用各選項點的 $z$-坐標求出對應的 $t$，並驗算 $x, y$ 坐標是否符合： $(1)$ 點 $(2,2,2)$：由 $z = 2 \implies t = 2$，此時 $x = -1 + 2(2) = 3 \ne 2$（不合）。 $(2)$ 點 $(1,1,1)$：由 $z = 1 \implies t = 1$，此時 $x = -1 + 2(1) = 1$ 且 $y = 2 - 1 = 1$（符合）。 $(3)$ 點 $(4, -2, 2)$：由 $z = 2 \implies t = 2$，此時 $x = -1 + 2(2) = 3 \ne 4$（不合）。 $(4)$ 點 $(-2, 4, 0)$：由 $z = 0 \implies t = 0$，此時 $x = -1 + 2(0) = -1 \ne -2$（不合）。 $(5)$ 點 $(-5, -4, -2)$：由 $z = -2 \implies t = -2$，此時 $x = -1 + 2(-2) = -5$，但 $y = 2 - (-2) = 4 \ne -4$（不合）。 故選 $(2)$。