設 $P$ 點的坐標為 $(x, y)$。因為 $P$ 點在正方形 $ABCD$ 內部，故滿足 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 1$。 1. 我們先考慮 $y$-坐標（使用 $\triangle PDA$ 與 $\triangle PBC$ 的面積比）： - $\triangle PDA$ 的底為 $\overline{AD}$，長度為 $1$。高為 $P(x,y)$ 到直線 $y=1$ 的距離，即 $1-y$。其面積為： $$\text{Area}(\triangle PDA) = \dfrac{1}{2} \times 1 \times (1-y)$$ - $\triangle PBC$ 的底為 $\overline{BC}$，長度為 $1$。高為 $P(x,y)$ 到直線 $y=0$ 的距離，即 $y$。其面積為： $$\text{Area}(\triangle PBC) = \dfrac{1}{2} \times 1 \times y$$ 根據題意，面積比為 $1:2$： $$\dfrac{\dfrac{1}{2}(1-y)}{\dfrac{1}{2}y} = \dfrac{1}{2} \implies \dfrac{1-y}{y} = \dfrac{1}{2} \implies 2 - 2y = y \implies 3y = 2 \implies y = \dfrac{2}{3}$$ 2. 接著考慮 $x$-坐標（使用 $\triangle PAB$ 與 $\triangle PCD$ 的面積比）： - $\triangle PAB$ 的底為 $\overline{AB}$，長度為 $1$。高為 $P(x,y)$ 到直線 $x=0$ 的距離，即 $x$。其面積為： $$\text{Area}(\triangle PAB) = \dfrac{1}{2} \times 1 \times x$$ - $\triangle PCD$ 的底為 $\overline{CD}$，長度為 $1$。高為 $P(x,y)$ 到直線 $x=1$ 的距離，即 $1-x$。其面積為： $$\text{Area}(\triangle PCD) = \dfrac{1}{2} \times 1 \times (1-x)$$ 根據題意，面積比為 $2:3$： $$\dfrac{\dfrac{1}{2}x}{\dfrac{1}{2}(1-x)} = \dfrac{2}{3} \implies \dfrac{x}{1-x} = \dfrac{2}{3} \implies 3x = 2(1-x) \implies 5x = 2 \implies x = \dfrac{2}{5}$$ 因此，點 $P$ 的坐標為 $\left(\dfrac{2}{5}, \dfrac{2}{3}\right)$。