94 學測數學第 14 題

Question

在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 $1$ 個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過 $6$ 次跳動後運動物體落在點 $+4$ 處，則此運動物體共有 _______ 種不同的跳動方法。

Accepted Answer

答案：6
設運動物體向正方向跳動 $x$ 次，向負方向跳動 $y$ 次。
依據題意可列出方程組：
$$\begin{cases} x + y = 6 \ x - y = 4 \end{cases}$$
解此方程組可得：
$$x = 5,	ext{ } y = 1$$
邊界計算可知，在總共 $6$ 次的跳動中，必須恰好有 $5$ 次向正方向、 $1$ 次向負方向。
其不同的跳動方法數，即為將 $5$ 個正向跳動與 $1$ 個負向跳動進行直線排列的總數：
$$C^{6}_1 = 6$$
故共有 $6$ 種不同的跳動方法。