95學測數學多選第6題詳解

已知 $\gcd(a, b) = 25$。且 $3, 4, 14$ 都是 $b, c$ 的公因數，所以 $b, c$ 均為 $\text{lcm}(3, 4, 14) = 84$ 的倍數。 $(1)$ 錯：$c$ 為 $84$ 的倍數，但不一定是 $56$ 的倍數（例如 $c=84$ 不能被 $56$ 整除）。 $(2)$ 對：$b$ 既是 $25$ 的倍數，又是 $84$ 的倍數。因 $\gcd(25, 84) = 1$，故 $b$ 為 $25 \times 84 = 2100$ 的倍數，因此 $b \ge 2100$。 $(3)$ 對：若 $a \le 100$，則 $a$ 可能為 $25, 50, 75, 100$。 - 若 $a=50$，則 $\gcd(a,b)$ 會是 $50$ 的倍數（因 $b$ 是 $2100$ 的倍數，亦是 $50$ 的倍數），與 $\gcd(a,b)=25$ 矛盾。 - 若 $a=75$，則 $\gcd(a,b)$ 至少是 $75$（因 $b$ 是 $3$ 的倍數，亦是 $75$ 的倍數），與 $\gcd(a,b)=25$ 矛盾。 - 若 $a=100$，則 $\gcd(a,b)$ 至少是 $100$（因 $b$ 是 $4$ 的倍數，亦是 $100$ 的倍數），與 $\gcd(a,b)=25$ 矛盾。 因此 $a$ 只能是 $25$。 $(4)$ 對：$\gcd(a, b, c) = \gcd(\gcd(a, b), c) = \gcd(25, c)$，此值必定是 $25$ 的因數。 $(5)$ 錯：若取 $a=25, b=2100, c=84$，則 $\text{lcm}(a,b,c) = 2100$，小於 $25 \times 3 \times 4 \times 14 = 4200$。 故選 $(2)(3)(4)$。