96指考數學甲非選第13題詳解

(1) 試求通過 $A, B, C$ 三點的平面方程式： 先求出兩條共面向量： \begin{aligned} \overline{AB} &= B - A = (1 - (-2), \; 16 - 7, \; 3 - 15) = (3, \; 9, \; -12)\\ \overline{AC} &= C - A = (10 - (-2), \; 7 - 7, \; 3 - 15) = (12, \; 0, \; -12) \end{aligned} 為了計算方便，將兩向量除以公因數進行簡化： $$\overset{\large\rightharpoonup}{u} = \frac{1}{3} \overline{AB} = (1, \; 3, \; -4)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{v} = \frac{1}{12} \overline{AC} = (1, \; 0, \; -1)$$ 平面的法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n}$ 為這兩向量的外積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{n} = \overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ \begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{n} &= (3 \times (-1) - 0)\hat{i} - (1 \times (-1) - 1 \times (-4))\hat{j} + (1 \times 0 - 3 \times 1)\hat{k}\\ &= -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k} \end{aligned} 選擇平行的最簡法向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{n} = (1, 1, 1)$。 因此，通過 $A(-2, 7, 15)$ 的平面方程式為： \begin{aligned} 1(x - (-2)) + 1(y - 7) + 1(z - 15) &= 0\\ x + y + z - 20 &= 0 \end{aligned} (2) 試求 $\triangle ABC$ 的外心坐標： 設外心坐標為 $P(x, y, z)$。 因為外心位於三角形所在的平面上，所以滿足： $$x + y + z = 20 \;\text{（式1）}$$ 又外心到三頂點等距離，故滿足 $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$。 寫出距離平方的表達式： \begin{aligned} \overline{PA}^2 &= (x+2)^2 + (y-7)^2 + (z-15)^2\\ \overline{PB}^2 &= (x-1)^2 + (y-16)^2 + (z-3)^2\\ \overline{PC}^2 &= (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2 \end{aligned} 1. 由 $\overline{PB}^2 = \overline{PC}^2$： \begin{aligned} (x-1)^2 + (y-16)^2 + (z-3)^2 &= (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2\\ -2x - 32y + 257 &= -20x - 14y + 149\\ 18x - 18y &= -108 \implies y = x + 6 \;\text{（式2）} \end{aligned} 2. 由 $\overline{PA}^2 = \overline{PC}^2$： \begin{aligned} (x+2)^2 + (y-7)^2 + (z-15)^2 &= (x-10)^2 + (y-7)^2 + (z-3)^2\\ 4x - 30z + 229 &= -20x - 6z + 109\\ 24x - 24z &= -120 \implies z = x + 5 \;\text{（式3）} \end{aligned} 3. 將（式2）與（式3）代入（式1）： $$x + (x + 6) + (x + 5) = 20$$ $$3x + 11 = 20 \implies 3x = 9 \implies x = 3$$ 進而求得：$y = 3 + 6 = 9$，$z = 3 + 5 = 8$。 經代回計算驗證 $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2 = \overline{PC}^2 = 78$，且 $3+9+8=20$。 故 $\triangle ABC$ 的外心坐標為 $(3, 9, 8)$。