96指考數學甲非選第12題詳解

(1) 求解三次方程式 $f(x) = 0$： 利用整係數一次因式檢驗法，檢驗 $30$ 的因數（如 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \dots$）： - 代入 $x=3$：$f(3) = 3^3 - 6(3^2) - 3 + 30 = 27 - 54 - 3 + 30 = 0$。 因此 $x-3$ 是 $f(x)$ 的一個因式。 利用綜合除法將 $f(x)$ 除以 $x-3$： $$f(x) = (x-3)(x^2 - 3x - 10) = (x-3)(x-5)(x+2) = 0$$ 方程式的根為 $x = 3, 5, -2$。 (2) 求 $\triangle CDE$ 的面積： 由 (1) 可知 $f(x)=0$ 的兩正根為 $3$ 與 $5$。 設兩正根分別為 $a = 3, b = 5$。 在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AC} = a = 3$、$\overline{BC} = b = 5$、$\angle ACB = 120^\circ$。 1. 計算最長邊 $\overline{AB}$ 的長度，利用餘弦定理： \begin{aligned} \overline{AB}^2 &= \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 - 2 \overline{AC} \cdot \overline{BC} \cos 120^\circ\\[4pt] &= 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\left(-\frac{1}{2}\right)\\[4pt] &= 9 + 25 + 15 = 49 \implies \overline{AB} = 7 \end{aligned} 2. 分析線段 $\overline{AB}$ 上的點 $D, E$ 的位置： - $\overline{BD} = \overline{BC} = 5$。因為 $D$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，故 $\overline{AD} = \overline{AB} - \overline{BD} = 7 - 5 = 2$。 - $\overline{AE} = \overline{AC} = 3$。因為 $E$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，故 $\overline{EB} = \overline{AB} - \overline{AE} = 7 - 3 = 4$。 - 線段 $\overline{DE}$ 的長度為： $$\overline{DE} = \overline{AB} - \overline{AD} - \overline{EB} = 7 - 2 - 4 = 1$$ 這表示在線段 $\overline{AB}$ 上，點的順序為 $A-D-E-B$，且底邊長度 $\overline{DE} = 1$。 3. 求 $\triangle CDE$ 面積： 因為 $\triangle CDE$ 與 $\triangle ABC$ 共享同一個以 $C$ 點為頂點的高，所以兩者的面積比等於底邊長度比： $$\frac{\text{Area}(\triangle CDE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\overline{DE}}{\overline{AB}} = \frac{1}{7}$$ 計算 $\triangle ABC$ 的面積： $$\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \overline{AC} \cdot \overline{BC} \sin 120^\circ = \frac{1}{2} (3)(5) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$$ 因此，$\triangle CDE$ 的面積為： $$\text{Area}(\triangle CDE) = \frac{1}{7} \times \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{28}$$