96指考數學甲選填第11題詳解

設紙盒底面正方形的邊長為 $x$ 公分，高為 $y$ 公分（其中 $x > 0, y > 0$）。 因為紙盒沒有蓋子，所以紙盒外側灰色部分的表面積由一個底面正方形與四個側面長方形組成： $$\text{灰色面積} = x^2 + 4xy = 432 \ \text{--- （式1）}$$ 我們想極大化紙盒的體積 $V = x^2 y$。 由（式1） 可將 $y$ 以 $x$ 表示： $$4xy = 432 - x^2 \implies y = \frac{432 - x^2}{4x}$$ 將 $y$ 代回體積公式 $V$ 中： $$V(x) = x^2 \left( \frac{432 - x^2}{4x} \right) = \frac{x(432 - x^2)}{4} = 108x - \frac{1}{4}x^3$$ 為求最大體積，對 $V(x)$ 求導函數並令其為 $0$： $$V'(x) = 108 - \frac{3}{4}x^2 = 0$$ $$\frac{3}{4}x^2 = 108 \implies x^2 = 144 \implies x = 12 \ (\text{因為 } x > 0)$$ 我們利用二階導函數檢驗其是否為極大值： $$V''(x) = -\frac{3}{2}x$$ 將 $x = 12$ 代入得 $V''(12) = -18 < 0$，故在 $x = 12$ 處有極大值（也是最大值）。 無蓋長方體紙盒的底面邊長應設計為 $12$ 公分。