設正整數 $n = x^2 + y^2$，其中 $x, y$ 為整數。 我們分析任意整數的平方模 $8$ 的餘數： - 若 $k \equiv 0 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 0 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 1 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 1 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 2 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 4 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 3 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 4 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 16 \equiv 0 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 5 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 6 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 36 \equiv 4 \pmod 8$ - 若 $k \equiv 7 \pmod 8 \implies k^2 \equiv 49 \equiv 1 \pmod 8$ 因此，任意整數平方後的餘數只可能是 $0, 1, 4$。 那麼兩平方數之和 $n = x^2 + y^2 \pmod 8$ 的可能餘數組合為： - $0 + 0 \equiv 0 \pmod 8$ - $0 + 1 \equiv 1 \pmod 8$ - $0 + 4 \equiv 4 \pmod 8$ - $1 + 1 \equiv 2 \pmod 8$ - $1 + 4 \equiv 5 \pmod 8$ - $4 + 4 \equiv 8 \equiv 0 \pmod 8$ 由上述可知，餘數可能為 $0, 1, 2, 4, 5$，而不可能為 $3, 6, 7$。 對照選項，餘數不可能為 $6$。 故選 $(5)$。