題目
建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下：甲型屋每棟地價成本為 $500$ 萬元，建築費用為 $900$ 萬元，乙型屋每棟地價成本為 $200$ 萬元，建築費用為 $1500$ 萬元；公司在資金部分限制地價總成本上限為 $3500$ 萬元，所有建築費用的上限為 $1$ 億 $2000$ 萬元。無論甲型或乙型售出，每棟獲利皆為 $500$ 萬元。假設推出的預售屋皆可售出，請問推出甲、乙兩型預售屋各幾棟，公司才可得到最大利潤？（$13$ 分）
詳解
設推出甲型屋 $x$ 棟，乙型屋 $y$ 棟。
由於房屋棟數必須為非負整數，因此限制 $x \ge 0, y \ge 0$，且 $x, y \in \mathbb{Z}$。
1. 列出不等式限制條件：
- 地價總成本限制（上限 $3500$ 萬元）：
$$500x + 200y \le 3500 \implies 5x + 2y \le 35$$
- 所有建築費用限制（上限 $1$ 億 $2000$ 萬元 $=$ $12000$ 萬元）：
$$900x + 1500y \le 12000 \implies 3x + 5y \le 40$$
- 非負整數限制：
$$x \ge 0, \ y \ge 0, \ x, y \in \mathbb{Z}$$
2. 列出目標函數（利潤，單位：萬元）：
$$P(x, y) = 500x + 500y = 500(x + y)$$
要使利潤 $P(x, y)$ 最大，即要求 $x + y$ 的最大值。
3. 求解可行區域的端點：
在第一象限內，繪製二元一次不等式組的可行區域，其邊界交點如下：
- 與 $y$ 軸交點：當 $x = 0$ 時，由 $3x + 5y \le 40$ 限制，得頂點 $A(0, 8)$。
- 與 $x$ 軸交點：當 $y = 0$ 時，由 $5x + 2y \le 35$ 限制，得頂點 $B(7, 0)$。
- 兩直線的交點 $C$：
$$\begin{cases} 5x + 2y = 35 \\ 3x + 5y = 40 \end{cases} \implies \begin{cases} 25x + 10y = 175 \\ 6x + 10y = 80 \end{cases} \implies 19x = 95 \implies x = 5$$
代入得 $y = 5$。因此交點為 $C(5, 5)$。
4. 代入頂點求極值：
- 對於 $O(0, 0)$： $P(0, 0) = 500 \times 0 = 0$ 萬元。
- 對於 $A(0, 8)$： $P(0, 8) = 500 \times (0 + 8) = 4000$ 萬元。
- 對於 $B(7, 0)$： $P(7, 0) = 500 \times (7 + 0) = 3500$ 萬元。
- 對於 $C(5, 5)$： $P(5, 5) = 500 \times (5 + 5) = 5000$ 萬元。
因為交點 $C(5, 5)$ 的坐標皆為整數，且在此頂點獲得的利潤 $5000$ 萬元為最大值。
故公司應推出甲型屋 $5$ 棟，乙型屋 $5$ 棟。
題目來源：民國97年指考數學乙 第12題（來源PDF第7頁）
資料版本：2026-07-21（commit bde62541）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈97指考數學乙非選第12題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/097_07B_q12
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