105指考數學乙非選第13題詳解

1. 設公司承租平地 $x$ 單位面積、山坡地 $y$ 單位面積，其中 $x\ge 0$、$y\ge 0$。 2. 根據題意列出限制條件（單位：萬元）： 土地年租金限制：$30x+20y\le 80$，化簡得 $3x+2y\le 8$。 種植成本限制：$40x+50y\le 130$，化簡得 $4x+5y\le 13$。 3. 目標函數（總利潤，萬元）：$P(x,y)=120x+90y$。 4. 求可行解區域的各頂點坐標： 頂點 $O$：原點 $(0,0)$。因為 $x=0$ 且 $y=0$ 滿足兩不等式，所以為可行解區域的一個頂點。 頂點 $A$：因為 $3x+2y=8$ 與 $y=0$ 的交點，所以代入 $y=0$ 得 $3x=8$，故 $x=\frac{8}{3}$，即 $A(\frac{8}{3},0)$。 頂點 $C$：因為 $4x+5y=13$ 與 $x=0$ 的交點，所以代入 $x=0$ 得 $5y=13$，故 $y=\frac{13}{5}$，即 $C(0,\frac{13}{5})$。 頂點 $B$：兩直線 $3x+2y=8$ 與 $4x+5y=13$ 的交點。因為要解聯立： $$\begin{cases} 3x+2y=8 \\ 4x+5y=13 \end{cases}$$ 將第一式乘 $5$：$15x+10y=40$；第二式乘 $2$：$8x+10y=26$。相減得 $7x=14$，所以 $x=2$。代回第一式：$3\cdot 2+2y=8$，得 $y=1$。故 $B(2,1)$。 5. 以頂點法計算各頂點的利潤值： $$P(O)=120\cdot 0+90\cdot 0 = 0$$ $$P(A)=120\cdot\frac{8}{3}+90\cdot 0 = 320$$ $$P(C)=120\cdot 0+90\cdot\frac{13}{5} = 234$$ $$P(B)=120\cdot 2+90\cdot 1 = 240+90 = 330$$ 6. 比較各頂點利潤值，$330>320>234>0$，因為 $330>320>234>0$，所以最大利潤發生在 $B(2,1)$，利潤為 $330$ 萬元。 故公司一年應租平地 $2$ 單位面積、山坡地 $1$ 單位面積，可獲得最大利潤 $330$ 萬元。