98學測數學多選第7題詳解

逐項判斷如下： $(1)$ $3.1416$ 為有限小數，可化為 $\frac{31416}{10000}$，是有理數，正確。 $(2)$ $\sqrt{3}$ 為無理數，錯誤。 $(3)$ $\log_{10}\sqrt{5}+\log_{10}\sqrt{2}=\log_{10}\sqrt{10}=\frac{1}{2}$，為有理數，正確。 $(4)$ $\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ}+\frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}=\frac{1}{\sin15^\circ\cos15^\circ}=\frac{2}{\sin30^\circ}=4$，為有理數，正確。 $(5)$ 若 $x^3-2x^2+x-1=0$ 有有理根，依有理根定理只可能為 $\pm1$，但代入皆不為 $0$，故其唯一實根不是有理數，錯誤。 因為成立的選項為 $(1)(3)(4)$，所以選 $(1)(3)(4)$。