107指考數學乙多選第5題詳解

1. 由 $2^x=3$ 得 $x=\log_2 3=\frac{\log 3}{\log 2}\approx\frac{0.4771}{0.3010}\approx 1.585$。 2. 由 $3^y=4$ 得 $y=\log_3 4=\frac{\log 4}{\log 3}=\frac{2\log 2}{\log 3}\approx\frac{0.6020}{0.4771}\approx 1.262$。 選項 $(1)$：因為 $x\approx 1.585<2$，所以 $x<2$。正確。 選項 $(2)$：因為 $y\approx 1.262<1.5=\frac{3}{2}$，所以 $y>\frac{3}{2}$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $x\approx 1.585>y\approx 1.262$，所以 $x<y$ 錯誤。 選項 $(4)$：$xy=\log_2 3\cdot\log_3 4=\frac{\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 4}{\log 3}=\frac{\log 4}{\log 2}=\log_2 4=2$。正確。 選項 $(5)$：因為 $x>0$、$y>0$ 且 $x\neq y$，所以由算幾不等式得 $x+y>2\sqrt{xy}=2\sqrt{2}$，因此 $x+y<2\sqrt{2}$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。