107指考數學乙多選第4題詳解

無窮級數收斂的判定： 選項 $(1)$：$a_n=(-1)^n$，級數為 $-1+1-1+1-\cdots$，部分和在 $-1$ 與 $0$ 之間震盪，因為部分和數列不收斂，所以級數發散。 選項 $(2)$：因為 $b_n=a_n+a_{n+1}=(-1)^n+(-1)^{n+1}=(-1)^n-(-1)^n=0$，所以級數每一項皆為 $0$，級數收斂於 $0$。正確。 選項 $(3)$：$c_n=\left(\frac{-\sqrt{10}}{3}\right)^n$ 為等比數列，公比 $r=\frac{-\sqrt{10}}{3}$。因為 $|r|=\frac{\sqrt{10}}{3}>1$，所以等比級數發散。 選項 $(4)$：$d_n=\frac{1}{3^n}c_n=\left(\frac{-\sqrt{10}}{9}\right)^n$，公比 $r=\frac{-\sqrt{10}}{9}$。因為 $|r|=\frac{\sqrt{10}}{9}<1$，所以等比級數收斂。正確。 選項 $(5)$：$e_n=\frac{1}{c_n}=\left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)^n$，公比 $r=\frac{-3}{\sqrt{10}}$。因為 $|r|=\frac{3}{\sqrt{10}}<1$，所以等比級數收斂。正確。 故選 $(2)(4)(5)$。