1. **計算長方體的長、寬、高**： * 長 $L_x = \dfrac{14}{13} - \dfrac{1}{13} = 1$ * 寬 $L_y = 1 - (-1) = 2$ * 高 $L_z = 4 - 1 = 3$ 2. **總可能樣點**： 長方體共有 $8$ 個頂點，任選兩個相異頂點的組合數為： $$\dbinom{8}{2} = 28\text{ 種}$$ 3. **計算大於 $3$ 的距離**： 設所選兩點的坐標差為 $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$，其距離平方 $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$。我們要求 $d > 3 \implies d^2 > 9$： * $\Delta x \in \{0, 1\}$ * $\Delta y \in \{0, 2\}$ * $\Delta z \in \{0, 3\}$ 我們分析符合 $d^2 > 9$ 的情況： * $xz$ 平面上的面對角線：$(\Delta x, \Delta y, \Delta z) = (1, 0, 3) \implies d^2 = 1^2 + 0^2 + 3^2 = 10 > 9$。此類頂點對共有 $4$ 對。 * $yz$ 平面上的面對角線：$(\Delta x, \Delta y, \Delta z) = (0, 2, 3) \implies d^2 = 0^2 + 2^2 + 3^2 = 13 > 9$。此類頂點對共有 $4$ 對。 * 長方體的空間對角線：$(\Delta x, \Delta y, \Delta z) = (1, 2, 3) \implies d^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 > 9$。此類頂點對共有 $4$ 對。 其餘情況（如邊長為 $1, 2, 3$，或 $xy$ 面對角線 $\sqrt{5}$）的距離平方皆 $\le 9$。 故距離大於 $3$ 的相異頂點對共有 $4 + 4 + 4 = 12$ 對。 4. **求機率**： $$\text{機率} = \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7}$$ 故選到兩個頂點的距離大於 $3$ 之機率為 $\dfrac{3}{7}$。