102指考數學甲多選第8題詳解

$(1)$ $f(-x)=|\sin(-x)|+|\cos(-x)|=|-\sin x|+|\cos x|=f(x)$，故函數為偶函數，此選項正確。 $(2)$ 將 $f(x)$ 平方： $$f(x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2|\sin x\cos x|=1+|\sin 2x|.$$ 因為 $0\le |\sin 2x|\le 1$，所以 $f(x)^2$ 的最大值為 $2$。又 $f(x)\ge 0$，因此 $f(x)$ 的最大值為 $\sqrt{2}$，與頁圖選項相符，此選項正確。 $(3)$ 同理，$f(x)^2$ 的最小值為 $1$，故 $f(x)$ 的最小值為 $1$，此選項錯誤。 $(4)$ 當 $x\in[0,\frac{\pi}{4}]$ 時，$2x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，在此區間內 $\sin 2x$ 隨 $x$ 增大而遞增。因此 $f(x)$ 在此區間遞增。因為 $\frac{\pi}{10}<\frac{\pi}{9}<\frac{\pi}{4}$，所以 $f(\frac{\pi}{10})<f(\frac{\pi}{9})$，此選項錯誤。 $(5)$ $f(x+\frac{\pi}{2})=|\cos x|+|-\sin x|=f(x)$，故 $\frac{\pi}{2}$ 是週期，且由 $f(x)^2=1+|\sin 2x|$ 可知最小正週期為 $\frac{\pi}{2}$，不是 $\pi$。此選項錯誤。 故正確選項為 $(1)(2)$。