103學測數學單選第6題詳解

設事件 $F_1$ 為「第一次療程失敗」，事件 $S_2$ 為「第二次療程成功」。因為 依題意，患者小組屬於第一類的機率為 $0.7$，屬於第二類的機率為 $0.3$。 對於第一類患者，每次療程成功的機率為 $0.7$，失敗機率為 $0.3$；且兩次療程獨立。 對於第二類患者，每次療程成功的機率為 $0$，失敗機率為 $1$。 第一次療程失敗的機率為： $$P(F_1) = P(\text{第一類}) \times P(\text{第一類失敗}) + P(\text{第二類}) \times P(\text{第二類失敗}) = 0.7 \times 0.3 + 0.3 \times 1 = 0.21 + 0.3 = 0.51$$第一次療程失敗且第二次療程成功的機率為： $$P(F_1 \cap S_2) = P(\text{第一類}) \times P(\text{第一類第一次失敗且第二次成功}) + P(\text{第二類}) \times 0 = 0.7 \times (0.3 \times 0.7) + 0 = 0.147$$故在第一次療程失敗的條件下，第二次療程成功的條件機率為： $$P(S_2 \mid F_1) = \frac{P(F_1 \cap S_2)}{P(F_1)} = \frac{0.147}{0.51} \approx 0.288$$在選項中最接近 $0.3$。 所以選 $(2)$。