103指考數學乙多選第7題詳解

已知 $b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$。 $(1)$ 因為 $b = a + \frac{1}{5}(c-a)$，所以 $b$ 在 $a$ 與 $c$ 之間（將 $a$ 到 $c$ 分成 $5$ 等份，$b$ 在 $a$ 往 $c$ 方向 $1$ 等份處），正確。 $(2)$ $c$ 與 $b$ 的大小取決於 $c-a$ 的正負：若 $c > a$，則 $a < b < c$；若 $c < a$，則 $c < b < a$。因此不一定 $c > b$，錯誤。 $(3)$ 設 $d = a - \frac{1}{3}(c-a)$，則 $d$ 在 $a$ 的另一側，不在 $a$ 與 $b$ 之間，錯誤。 $(4)$ 因為 $b - a = \frac{1}{5}(c-a)$，所以 $|a-c| = 5|a-b|$，正確。 $(5)$ 取 $a = 0$、$c = 5$，則 $b = 1$。此時 $|b| = 1$，$\frac{4}{5}|a| + \frac{1}{5}|c| = 1$，滿足條件，但 $abc = 0$，不大於 $0$。所以 $abc > 0$ 不一定成立，錯誤。 因此正確選項為 $(1)(4)$。