答案與本題考點
答案：$(1)\ p\left(x,y\right)=400x+320y,\ 2x+y\ge 7,\ x+y\ge 5,\ x+2y\ge 6,\ x\ge0,\ y\ge0;\ (2)\ \left(6,0\right),\left(4,1\right),\left(2,3\right),\left(0,7\right);\ (3)\ 1760$
本題考點：目標函數、線性規劃、可行解區域、圓與直線
題目
某工廠可以買甲、乙兩種規格的鐵板來製作「熊大」徽章、「兔兔」徽章和「饅頭人」徽章。每塊甲規格的鐵板可以製作 $8$ 個「熊大」徽章、$4$ 個「兔兔」徽章及 $8$ 個「饅頭人」徽章，每塊乙規格的鐵板可以製作 $4$ 個「熊大」徽章、$4$ 個「兔兔」徽章及 $16$ 個「饅頭人」徽章。已知甲規格的鐵板每塊的成本為 $400$ 元，乙規格的鐵板每塊的成本為 $320$ 元；然而零售商需要 $28$ 個「熊大」徽章、$20$ 個「兔兔」徽章及 $48$ 個「饅頭人」徽章。為了滿足零售商的需求，設工廠要買進 $x$ 塊甲規格鐵板、$y$ 塊乙規格鐵板，其中 $x$ 和 $y$ 為非負整數，由下列步驟，求出何時才能達到最低成本。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。（$4$ 分）
(2) 求可行解區域的所有頂點的坐標。（$4$ 分）
(3) 工廠所需最低成本為多少元？（$4$ 分）
詳解
$(1)$ 化簡需求不等式：
因為熊大需求為 $8x + 4y \ge 28$，所以 $2x + y \ge 7$。
因為兔兔需求為 $4x + 4y \ge 20$，所以 $x + y \ge 5$。
因為饅頭人需求為 $8x + 16y \ge 48$，所以 $x + 2y \ge 6$。
加上非負整數條件 $x \ge 0$、$y \ge 0$。
目標函數：$p(x,y) = 400x + 320y$（求最小值）。
$(2)$ 求可行解區域的頂點：
解 $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+y=5 \end{cases}$：相減得 $x=2$，代入得 $y=3$，頂點為 $(2,3)$。
解 $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x+2y=6 \end{cases}$：由第一式 $y=7-2x$ 代入第二式 $x+2(7-2x)=6$，得 $x+14-4x=6$，即 $3x=8$，$x=\frac{8}{3}$，$y=7-\frac{16}{3}=\frac{5}{3}$，頂點為 $(\frac{8}{3},\frac{5}{3})$。
解 $\begin{cases} x+y=5 \\ x+2y=6 \end{cases}$：相減得 $y=1$，代入得 $x=4$，頂點為 $(4,1)$。
與坐標軸交點：
$2x+y=7$ 與 $x$ 軸交於 $(3.5, 0)$，與 $y$ 軸交於 $(0, 7)$。
$x+y=5$ 與 $x$ 軸交於 $(5, 0)$，與 $y$ 軸交於 $(0, 5)$。
$x+2y=6$ 與 $x$ 軸交於 $(6, 0)$，與 $y$ 軸交於 $(0, 3)$。
因此可行域頂點為 $(6,0)$、$(4,1)$、$(2,3)$、$(0,7)$。
$(3)$ 計算各頂點的成本：
$(6,0)$：$400 \times 6 + 320 \times 0 = 2400$
$(4,1)$：$400 \times 4 + 320 \times 1 = 1920$
$(2,3)$：$400 \times 2 + 320 \times 3 = 1760$（最小值）
$(0,7)$：$400 \times 0 + 320 \times 7 = 2240$
因此最低成本為 $1760$ 元。
題目來源：民國103年指考數學乙 第12題（來源PDF第7頁）
資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
發現錯誤？回報此題問題 →
引用本站：大考雷達站，〈103指考數學乙非選第12題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/103_07B_q12
解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。