104指考數學甲多選第4題詳解

因為 $\angle ABC$ 為直角，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{BA} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$。 又 $\overline{AB} = \overline{BC}$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}$ 的長度等於 $|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}|$。 已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (4, 2)$，與其垂直且等長的向量可為 $(-2, 4)$ 或 $(2, -4)$。 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} \perp \overset{\large\rightharpoonup}{BA}$，而 $\overset{\large\rightharpoonup}{BA} = -\overset{\large\rightharpoonup}{AB} = (-4,-2)$，所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC}$ 垂直於 $(-4,-2)$，即垂直於 $(2,1)$。與 $(2,1)$ 垂直的向量為 $k(1,-2)$ 或 $k(-1,2)$。 $|\overset{\large\rightharpoonup}{BC}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{AB}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，取 $k=2$ 得 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} = (2,-4)$ 或 $(-2,4)$。 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \overset{\large\rightharpoonup}{BC}$： 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} = (2,-4)$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (4,2)+(2,-4) = (6,-2)$，對應 $(5)$。 若 $\overset{\large\rightharpoonup}{BC} = (-2,4)$，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC} = (4,2)+(-2,4) = (2,6)$，對應 $(3)$。 因此正確選項為 $(3)(5)$。