104指考數學甲多選第6題詳解

由零點可設 $f(x) = a x (x+4)$。因為 $f$ 的相對極小值發生在 $-4 < x < 0$，而二次函數的頂點在 $x = -2$，所以 $a > 0$（即開口向上時極小值在頂點）。 $(1)$ 由零點可設 $g(x) = k x (x+4)(x-4) = k(x^3 - 16x)$。其導數 $g'(x) = k(3x^2 - 16)$，臨界點為 $x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$。因為相對極小值發生在 $-4 < x < 0$，且 $x = -\frac{4}{\sqrt{3}} \approx -2.31$，需 $k < 0$（使 $g$ 在該點為相對極小）。 因此 $g$ 的首項係數為負，錯誤。 $(2)$ 同前述，$a > 0$，正確。 $(3)$ $f$ 的極小值發生在 $x = -2$，但 $g$ 的極小值發生在 $x = -\frac{4}{\sqrt{3}} eq -2$，錯誤。 $(4)$ $g(-1) = k(-1)(3)(-5) = 15k$，$g(-3) = k(-3)(1)(-7) = 21k$，不相等，錯誤。 $(5)$ $g(1) = k(1)(5)(-3) = -15k$，所以 $g(-1) = -g(1)$，正確。 因此正確選項為 $(2)(5)$。