104指考數學甲多選第5題詳解

設 $g(x)$ 為三次以下實係數多項式，為 $f(x)$ 除以 $(x^2-2x+2)(x^2+1)$ 的餘式。 因為除式的根為 $1 \pm i$ 與 $\pm i$，且 $f(1+i) = 5$、$f(i) = 10$，所以 $g(1+i) = 5$、$g(i) = 10$。 因為 $g$ 為實係數，所以 $g(1-i) = 5$、$g(-i) = 10$。 設 $g(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$，代入四個條件： $g(i) = A(-i) + B(-1) + Ci + D = -B + D + (C-A)i = 10$ 得 $D - B = 10$、$C - A = 0$（因為 $10$ 是實數）。 $g(1+i) = A(1+i)^3 + B(1+i)^2 + C(1+i) + D = 5$ 計算後可解得 $A = 2$、$B = -3$、$C = 2$、$D = 7$。 所以 $g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x + 7$。 $(1)$ $g(1-i) = 2(1-i)^3 - 3(1-i)^2 + 2(1-i) + 7 = 5$，正確。 $(2)$ $g(x)$ 次數為 $3$，不是 $2$，錯誤。 $(3)$ $g(x) = (2x+1)(x^2-2x+2) + 5$，除以 $x^2-2x+2$ 的餘式為 $5$，正確。 $(4)$ $g(-i) = 2i - 3(-1) - 2i + 7 = 10$，正確。 $(5)$ $g(x)$ 除以 $x^2+1$ 的餘式不是 $0$，錯誤。 因此正確選項為 $(1)(4)$。