我們需要求出所有形式為 $\dfrac{n}{m}$ 的有理數值，其中 $m, n$ 為正整數且滿足 $1 \le mn \le 8$。 我們依乘積 $mn = k$（其中 $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$）進行分類討論，列出所有可能的 $(m, n)$ 對及其所對應的有理數值 $\dfrac{n}{m}$： 1. 當 $mn = 1$ 時： - $(m, n) = (1, 1) \implies \dfrac{n}{m} = 1$ 2. 當 $mn = 2$ 時： - $(m, n) = (1, 2) \implies \dfrac{n}{m} = 2$ - $(m, n) = (2, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{2}$ 3. 當 $mn = 3$ 時： - $(m, n) = (1, 3) \implies \dfrac{n}{m} = 3$ - $(m, n) = (3, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{3}$ 4. 當 $mn = 4$ 時： - $(m, n) = (1, 4) \implies \dfrac{n}{m} = 4$ - $(m, n) = (2, 2) \implies \dfrac{n}{m} = 1$（與 $mn=1$ 重複） - $(m, n) = (4, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{4}$ 5. 當 $mn = 5$ 時： - $(m, n) = (1, 5) \implies \dfrac{n}{m} = 5$ - $(m, n) = (5, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{5}$ 6. 當 $mn = 6$ 時： - $(m, n) = (1, 6) \implies \dfrac{n}{m} = 6$ - $(m, n) = (2, 3) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{3}{2}$ - $(m, n) = (3, 2) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{2}{3}$ - $(m, n) = (6, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{6}$ 7. 當 $mn = 7$ 時： - $(m, n) = (1, 7) \implies \dfrac{n}{m} = 7$ - $(m, n) = (7, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{7}$ 8. 當 $mn = 8$ 時： - $(m, n) = (1, 8) \implies \dfrac{n}{m} = 8$ - $(m, n) = (2, 4) \implies \dfrac{n}{m} = 2$（與 $mn=2$ 重複） - $(m, n) = (4, 2) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{2}$（與 $mn=2$ 重複） - $(m, n) = (8, 1) \implies \dfrac{n}{m} = \dfrac{1}{8}$ 我們將上述所有相異的有理數進行歸納與去重： - **整數值**：$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$（共 $8$ 個） - **小於 $1$ 的非整數有理數**：$\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{2}{3}$（共 $8$ 個） - **大於 $1$ 的非整數有理數**：$\dfrac{3}{2}$（共 $1$ 個） 共計：$8 + 8 + 1 = 17$ 個相異的數值。 因此，共有 $17$ 個相異數值，答案選 $(4)$。