105指考數學乙多選第7題詳解

給定 $O(0,0)$、$P(1,0)$、直線 $L:x-2y=-4$（即 $x-2y+4=0$）。逐一驗證各選項： 選項 $(1)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=(1,0)$，若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}\parallel\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$，則 $A$ 必在 $x$ 軸上（即 $y=0$）。將 $y=0$ 代入 $L$ 得 $x=-4$，所以 $A(-4,0)$ 在 $L$ 上。故正確。 選項 $(2)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=(1,0)$，若 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$，則 $B$ 的 $x$ 坐標必為 $0$。將 $x=0$ 代入 $L$ 得 $y=2$，所以 $B(0,2)$ 在 $L$ 上。故正確。 選項 $(3)$：因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OC}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{PC}$，所以 $\angle OCP=90^\circ$。由圓周角定理，$C$ 必在以 $\overline{OP}$ 為直徑的圓上。此圓的圓心為 $M(\frac{1}{2},0)$，半徑 $R=\frac{1}{2}$。因為圓心到直線 $L$ 的距離為： $$d(M,L)=\frac{|\frac{1}{2}-2\cdot 0+4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{4.5}{\sqrt{5}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}$$ 且 $\frac{9}{2\sqrt{5}}\approx 2.01 > \frac{1}{2}=R$，所以該圓與 $L$ 無交點，$L$ 上不存在滿足條件的點 $C$。故錯誤。 選項 $(4)$：點 $P(1,0)$ 到直線 $L$ 的最短距離為： $$d(P,L)=\frac{|1-2\cdot 0+4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$ 因為 $\sqrt{5}\approx 2.236$，所以 $L$ 上任一點與 $P$ 的距離均 $\ge\sqrt{5}>2$，故不存在點 $D$ 使 $\overline{PD}=2$。故錯誤。 選項 $(5)$：考慮 $\triangle EOP$ 為等腰三角形。若 $\overline{EO}=\overline{EP}$，則 $E$ 必在 $\overline{OP}$ 的垂直平分線 $x=\frac{1}{2}$ 上。將 $x=\frac{1}{2}$ 代入 $L$ 得 $y=\frac{9}{4}$，所以 $E(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$ 在 $L$ 上且不共線，構成等腰三角形。故正確。 綜合以上，正確選項為 $(1)(2)(5)$。