105指考數學乙多選第8題詳解

1. 社區有 $1000$ 位居民，月所得的區間佔比如下： - 少於 $10000$ 元：占 $30\%$（累計 $30\%$） - $10000$ 至 $20000$ 元：占 $10\%$（累計 $40\%$） - $20000$ 至 $40000$ 元：占 $30\%$（累計 $70\%$） - $40000$ 至 $80000$ 元：占 $30\%$（累計 $100\%$） 2. 逐一驗證各選項： 選項 $(1)$：中位數對應累計百分比達 $50\%$ 的位置。因為累計 $40\%$ 時金額未達 $20000$ 元，累計 $70\%$ 時未達 $40000$ 元，所以中位數落在 $20000$ 元及 $40000$ 元之間。故正確。 選項 $(2)$：四個區間的佔比為 $30\%$、$10\%$、$30\%$、$30\%$，其中以 $10000$ 至 $20000$ 元區間的 $10\%$ 為最低，所以隨機抽出一人在此區間的機率最低。故正確。 選項 $(3)$：若要使平均所得最大化，可讓各區間居民所得接近區間上限，此時平均數可接近： $$10000\cdot 0.3+20000\cdot 0.1+40000\cdot 0.3+80000\cdot 0.3 = 3000+2000+12000+24000 = 41000$$ 因為 $41000>40000$，所以平均所得有可能高過 $40000$ 元。故錯誤。 選項 $(4)$：若要使平均所得最小化，可讓各區間居民所得接近區間下限，此時平均數可接近： $$0\cdot 0.3+10000\cdot 0.1+20000\cdot 0.3+40000\cdot 0.3 = 0+1000+6000+12000 = 19000$$ 而中位數落在 $20000$ 至 $40000$ 元之間，可安排為大於 $19000$，所以平均所得有可能低於中位數。故錯誤。 選項 $(5)$：設原平均所得為 $\mu$。新增一人（月所得 $200000$ 元）後的新平均為： $$\mu'=\frac{1000\mu+200000}{1001}$$ 增加量 $\Delta = \mu'-\mu = \frac{200000-\mu}{1001}$。因為 $\mu\ge 0$，所以 $\Delta\le\frac{200000}{1001}\approx 199.8<200$ 元。即增加量不會多過 $200$ 元。故正確。 綜合以上，正確選項為 $(1)(2)(5)$。