106學測數學多選第13題詳解

已知 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AB} = 0$ 且 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 0$。 將 $\overset{\large\rightharpoonup}{DB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{DC}$ 表示為： $\overset{\large\rightharpoonup}{DB} = \overset{\large\rightharpoonup}{AB} - \overset{\large\rightharpoonup}{AD}$， $\overset{\large\rightharpoonup}{DC} = \overset{\large\rightharpoonup}{AC} - \overset{\large\rightharpoonup}{AD}$。 1. 計算內積： $$\begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{DB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{DC} &= (\overset{\large\rightharpoonup}{AB} - \overset{\large\rightharpoonup}{AD}) \cdot (\overset{\large\rightharpoonup}{AC} - \overset{\large\rightharpoonup}{AD}) \\ &= \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} - \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AD} - \overset{\large\rightharpoonup}{AD} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} + |\overset{\large\rightharpoonup}{AD}|^2. \end{aligned}$$ 因為已知垂直條件，所以上式化簡為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{DB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{DC} = \overline{DA}^2 + \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}.$$ 選項 $(1)$ 寫成 $\overline{DA}^2 - \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$，差一個負號，所以 $(1)$ 錯誤。 2. 檢驗各角度條件： - 若 $\angle BAC$ 是直角，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = 0$， 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{DB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{DC} = \overline{DA}^2 > 0$， 因此 $\angle BDC$ 為銳角。$(2)$ 錯誤。 - 若 $\angle BAC$ 是銳角，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} > 0$， 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{DB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{DC} = \overline{DA}^2 + \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} > 0$， 因此 $\angle BDC$ 必為銳角。$(3)$ 正確。 - 若 $\angle BAC$ 是鈍角，則 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} < 0$， 但若 $\overline{DA}$ 足夠大，其內積仍可能為正，所以 $\angle BDC$ 可為銳角。$(4)$ 錯誤。 - 若 $\overline{AB} < \overline{AD}$ 且 $\overline{AC} < \overline{AD}$，因為 $$|\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}| \le \overline{AB} \cdot \overline{AC} < \overline{AD} \cdot \overline{AD} = \overline{DA}^2.$$ 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} > -\overline{DA}^2$， 得 $\overset{\large\rightharpoonup}{DB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{DC} = \overline{DA}^2 + \overset{\large\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC} > 0$， 因此 $\angle BDC$ 必為銳角。$(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。