106學測數學選填第20題詳解

1. 設出發點為原點 $O(0,0)$。經過 $t$ 秒時： 甲的位置為 $P(4t,0)$（向東），乙的位置為 $Q(0,3t)$（向北）。 連接甲與乙的直線 $L(t)$ 方程式為 $$\frac{x}{4t} + \frac{y}{3t} = 1 \implies 3x + 4y - 12t = 0.$$ 2. 設圓柱體底圓的圓心為 $(h,k)$，半徑為 $r$。 圓柱體開始阻擋視線的瞬間，直線 $L(t)$ 與底圓相切， 即圓心到直線的距離等於半徑： $$\frac{|3h + 4k - 12t|}{5} = r \implies |3h + 4k - 12t| = 5r.$$ 3. 去絕對值可得兩個臨界時間： $$12t_1 = 3h + 4k - 5r,\; 12t_2 = 3h + 4k + 5r.$$ 因為視線被阻擋的持續時間為 $\Delta t = 6$ 秒，所以 $$t_2 - t_1 = \frac{10r}{12} = 6 \implies 10r = 72 \implies r = 7.2.$$ 4. 因此底圓的直徑為 $2r = 2 \times 7.2 = 14.4$（公尺）。