106學測數學選填第19題詳解

1. 每一步青蛙有上、下、左、右四個方向的均等機會，所以四步的所有路徑數為 $4^4 = 256$ 種。 2. 因為要四步後恰回到原點，必須上下步數相等且左右步數相等， 所以設上 $u$ 步、下 $d$ 步、左 $l$ 步、右 $r$ 步，滿足 $u=d$、$l=r$， 且 $u+d+l+r=4 \implies 2u+2l=4 \implies u+l=2$。 3. 可能情況： 情況一：$u=2,d=2,l=0,r=0$（兩上兩下） $$\frac{4!}{2!2!} = 6\text{ 種}.$$ 情況二：$u=0,d=0,l=2,r=2$（兩左兩右） $$\frac{4!}{2!2!} = 6\text{ 種}.$$ 情況三：$u=1,d=1,l=1,r=1$（上下左右各一） $$\frac{4!}{1!1!1!1!} = 24\text{ 種}.$$ 4. 所以恰回到原點的路徑數為 $6+6+24=36$ 種，機率為 $\frac{36}{256}=\frac{9}{64}$。