111 學測數學B 第 16 題

Question

袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 $10$ 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 $\dfrac{1}{15}$，皆為綠色的機率為 $\dfrac{2}{9}$，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 $	ext{____}$。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$dfrac{31}{45}$
設藍、綠、黃球數分別為 $b,g,y$。因 $\binom{10}{2}=45$，由 $\dfrac{\binom{b}{2}}{45}=\dfrac{1}{15}$ 得 $\binom{b}{2}=3$，所以 $b=3$；由 $\dfrac{\binom{g}{2}}{45}=\dfrac{2}{9}$ 得 $\binom{g}{2}=10$，所以 $g=5$。因此 $y=10-3-5=2$。同色機率為 $\dfrac{\binom{3}{2}+\binom{5}{2}+\binom{2}{2}}{45}=\dfrac{14}{45}$，故相異色機率為 $1-\dfrac{14}{45}=\…