106指考數學甲選填第10題詳解

1. 直線方程式為 $y=-\frac{1}{2n}x+3$，與 $x$ 軸、$y$ 軸圍成三角形區域 $T_n$。 因為 $x\ge 0$、$y\ge 0$，由直線方程得 $x=2n(3-y)$，且 $y\le 3$。 因此區域內 $y$ 的整數取值為 $y=0,1,2,3$。 2. 對於每個固定的整數 $y$，$x$ 的範圍為 $0\le x\le 2n(3-y)$，其中 $x$ 為整數，共有 $2n(3-y)+1$ 個格子點。 3. 總格子點數 $a_n$ 為： $$\begin{aligned} a_n&=\sum\limits_{y=0}^{3}[2n(3-y)+1] \\ &=[6n+1]+[4n+1]+[2n+1]+[0+1]=12n+4 \end{aligned}$$ 4. 所以因此 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{12n+4}{n}=12$。 故填 $12$。