107學測數學選填第16題詳解

這四個不等式圍成的區域是一個矩形，其兩組對邊分別為： ‧ $L_1: x - y - 4 = 0$ 與 $L_2: x - y + 2 = 0$ ‧ $L_3: x + y - 18 = 0$ 與 $L_4: x + y + 24 = 0$ 兩組對邊的距離分別為： $$d(L_1, L_2) = \dfrac{|-4 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$ $$d(L_3, L_4) = \dfrac{|-18 - 24|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2}$$ 圓 $\Gamma$ 要完全落在此矩形內，其直徑 $2R$ 最大為兩距離之較小者，即 $2R = 3\sqrt{2} \implies R = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。 最大可能面積為 $\pi R^2 = \pi \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \dfrac{18}{4}\pi = \dfrac{9}{2}\pi$。 故填 $\dfrac{9}{2}$。