108學測數學單選第1題詳解

點 $A(1,0)$ 到直線 $L: 2x - y = 0$ 的距離為： $$d(A, L) = \frac{|2(1) - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ 若單位圓 $\Gamma: x^2 + y^2 = 1$ 上的點 $P(x,y)$ 到直線 $L$ 的距離也等於 $d(A, L)$，則點 $P$ 必須落在直線 $L_1: 2x - y = 2$ 或 $L_2: 2x - y = -2$ 上。 • 圓心 $O(0,0)$ 到直線 $L_1$ 的距離為 $\frac{2}{\sqrt{5}} < 1$（圓的半徑），因此 $L_1$ 與圓 $\Gamma$ 交於兩點，其中一點即為 $A(1,0)$，另一點記為 $A'$。 • 圓心 $O(0,0)$ 到直線 $L_2$ 的距離為 $\frac{2}{\sqrt{5}} < 1$，因此 $L_2$ 與圓 $\Gamma$ 交於兩點，記為 $B, C$。 這 $4$ 個點中，除了 $A(1,0)$ 以外，還有 $3$ 個點（即 $A', B, C$）到直線 $L$ 的距離與 $A$ 到 $L$ 的距離相等。 故選(3)。