108學測數學多選第11題詳解

我們逐一分析各選項： (1) 錯誤：$60$ 歲以上占比為 $\frac{280}{500} = 56\% < 60\%$。 (2) 錯誤：兩人皆落在 $50$-$59$ 歲間的機率為 $\frac{220}{500} \times \frac{219}{499} \approx 0.193 < 0.25$。 (3) 正確：做過篩檢的 $120$ 人中，一年內有 $45$ 人，一年之前有 $75$ 人。隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為： $$C^2_1 \times \frac{45}{120} \times \frac{75}{119} = 2 \cdot \left( \frac{45}{120} \right) \left( \frac{75}{119} \right)$$ (4) 錯誤：未曾做過篩檢的人數為 $500 - 120 = 380$ 人，其比例為 $\frac{380}{500} = 76\% > 75\%$。 (5) 正確：設 $50$-$59$ 歲做過篩檢的比例為 $p$，則 $60$ 歲以上做過篩檢的比例為 $3.5p$。依題意： $$220 \cdot p + 280 \cdot (3.5p) = 120 \Rightarrow 1200p = 120 \Rightarrow p = 10\%$$ 故 $60$ 歲以上曾做過篩檢的人數為 $280 \times 3.5(10\%) = 98$ 名，大於 $90$ 名。 故選(3)(5)。