109學測數學單選第1題詳解

由圖可知 $\alpha$ 為三邊長 $3,4,5$ 的直角三角形中，對邊長為 $3$ 的銳角，因為 $\sin\alpha=\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}$，所以 $\sin\alpha=\frac{3}{5}$。 由圖可知 $\beta$ 為三邊長 $5,12,13$ 的直角三角形中，對邊長為 $5$ 的銳角，因為 $\sin\beta=\frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}}$，所以 $\sin\beta=\frac{5}{13}$。 又 $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$。 因為 $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}>\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，所以 $\sin\alpha>\sin 30^\circ$。 因為 $\frac{1}{2}=\frac{13}{26}>\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$，所以 $\sin 30^\circ>\sin\beta$。 因此 $\sin\alpha>\sin 30^\circ>\sin\beta$，與選項 $(2)$ 相符。 故選 $(2)$。